Règles de dérivation - Règles et formules de dérivation

Règle de dérivation première : règle des facteurs ou règle des puissances

L'objectif de la règle des facteurs et des puissances est de dériver une fonction telle que y = ^x3, y = ^5x4 et y = 8x. La règle de base est la suivante : y = ^xz dérivé y' = z - ^xz-1.

Instructions étape par étape :

• 1ère étape : écrire la fonction y = ....
• 2ème étape : noter en dessous la dérivée y' = ....
• 3ème étape : l'exposant de y est ensuite écrit derrière la dérivée y' = ....
• 4ème étape : Le x est écrit ici.
• 5e étape : Pour la dérivée y' = ...., l'exposant est réduit d'exactement un (le facteur est toujours conservé !).

Exemple :

f (x) = y (x) = ^x3
f' (x) = y' (x) = ^3x2

Deuxième règle de dérivation : règle de la somme

La règle de la somme consiste à pouvoir différencier progressivement la somme finie de plusieurs fonctions. Voici donc quelques exemples pour illustrer ce principe :

1er exemple :

f (x) = y (x) = ^{x4 x4}
f' (x) = y' (x) = ^{4x3 4x3}

2e exemple :

f (x) = y (x) = 5x ^8x2
f' (x) = y' (x) = 5 8 - 2 - x

3ème exemple :

f (x) = y (x) = ^{2x4 11x5}
f' (x) = y' (x) = 2 - ^4x3 11 - 5 - ^x4

Troisième règle de dérivation : règle du produit

La règle du produit est utilisée exclusivement lorsqu'on a une fonction sous forme de produit. L'abréviation de la règle du produit se présente comme suit :

f = y = a - b
f' = y' = a' - b b' - a

En conséquence, la fonction peut être divisée en une partie a et une autre partie b. La partie concernée est ensuite dérivée, ce qui donne la dérivée y' . Pour comprendre la règle du produit, voici un exemple.

Exemple :

y (x) = ( ^8x5 - 4x ) ( 6x )

a = ^8x5 - 4x
a' = ^40x4 - 4

b = 6x
b' = 6

y' (x) = a' - b b' - a
y' (x) = ( ^40x4 - 4 ) ( 6x ) ( 6 ) ( ^8x5 - 4x )

Quatrième règle de dérivation : règle du quotient

La règle du quotient est toujours utilisée pour dériver des fractions. L'abréviation de cette règle est la suivante :

y (x) = a : b

y' (x) = (a' - b - b' - a) : ^b2

Le numérateur est désigné par a, tandis que le dénominateur est désigné par b. Si l'on dérive ensuite, les deux sont dérivés et utilisés dans y'. Voici un exemple de la règle du quotient pour illustrer ce point :

y (x) = (^3x5 8) : (2x 6)

a = ^3x5 8
a' = ^15x4

b = 2x 6
b' = 2

y' (x) = (a' - b - b' - a) : ^b2

y' (x) = ((^15x4) * (2x 6) - (2) * (^3x5 8)) : (2x 6)²

Cinquième règle de dérivation : utilisation de la règle de la chaîne

Les quatre premières règles de dérivation permettent de dériver assez facilement des fonctions simples. Mais lorsqu'il s'agit de fonctions imbriquées ou composées, les choses se présentent différemment. Car pour dériver par exemple une fonction comme y = ^e6x, il faut utiliser la règle de la chaîne ou de la substitution. Il faut donc se souvenir du principe suivant :

Avec la règle de la chaîne, la dérivée d'une fonction chaînée ou composée donne un produit. Celui-ci est obtenu à l'aide de la dérivée interne et externe.

Voici un exemple pour illustrer le fonctionnement exact de la règle de la chaîne :

Exemple : Règle de la chaîne

y = ( 4x - 7 )⁹

Instructions étape par étape :

• 1ère étape : La substitution avec v = 4x - 7
• 2ème étape : la fonction externe avec = ^v9
• 3ème étape : la dérivée externe avec = ^9v8
• 4e étape : la fonction interne avec = 4x - 7
• 5e étape : la dérivée interne avec = 4
• 6e étape : y' = ^v9 - 4 = ^4v9
• 7e étape : v = 4x - 7 il en résulte y' = 4 ( 4x - 7 )⁹